Razonamiento y prueba: conjeturas en el aula de matemáticas. ¿Una función que genera números primos? Compruébalo tú mismo

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Os presento un simulador interactivo para explorar en clase una de las conjeturas más famosas de la historia de las matemáticas: la función generadora de primos de Euler (polinomio de Euler).

¿Qué hace esta función?

En 1772, Leonhard Euler observó algo sorprendente, la expresión:

f(n) = n² + n + 41

produce números primos para todos los valores enteros n = 0, 1, 2, 3, … ¿Siempre? ¿Para cualquier n? Eso es precisamente lo que vamos a investigar.

Conjetura, comprobación y contraejemplo

El simulador permite evaluar la fórmula valor a valor, acumulando resultados y comprobando en tiempo real si cada número obtenido es primo o compuesto. Durante 40 pasos consecutivos todo funciona: la máquina no para de producir primos. Pero para n = 40 ocurre lo siguiente:

f(40) = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41 × 41

1681 no es primo. Un único contraejemplo basta para refutar la conjetura, por muchos casos favorables que hayamos acumulado.

¿Qué aprendizaje podemos extraer?

Comprobar no es demostrar. No importa que funcione en cien, en mil casos: si falla en uno, la conjetura es falsa. Esto es lo que hace las matemáticas distintas.

Esta idea, la diferencia entre comprobar y demostrar, es uno de los pilares del pensamiento matemático formal, y es especialmente importante para trabajarla en el aula para hacer ver al alumnado que no basta con comprobar que algo es cierto en unos cuantos casos para asegurar que es cierto siempre.

Cómo acceder y usar el simulador

Podéis acceder al simulador en el enlace de abajo. No requiere instalación ni cuenta. Funciona directamente en el navegador pulsando en la imagen o en el enlace del pie de la misma.

Paso siguiente: evalúa un valor de n cada vez, ideal para trabajar en clase con calma.
Auto: recorre los valores automáticamente a la velocidad que elijas con el control deslizante.
Al llegar al contraejemplo, el simulador se detiene y muestra la explicación completa.